Optimal vwap trading strategy and relativo volume

Estratégia de Negociação VWAP Ótima e Volume Relativo Resumo: O Preço Médio Ponderado pelo Volume (VWAP) para uma ação é o valor total negociado dividido pelo volume total negociado. É uma qualidade simples de medida de execução popular entre os comerciantes institucionais para medir o impacto do preço do estoque de negociação. Este artigo usa a otimização clássica de média variância para desenvolver estratégias de VWAP que tentam trocar em melhor do que o mercado VWAP. Essas estratégias exploram a deriva esperada dos preços através de um volume negociado de carregamento frontal ou back-loading otimizado da estratégia de risco VWAP mínima. Trabalhos relacionados: Este item pode estar disponível em outra parte do EconPapers: Pesquise itens com o mesmo título. Mais artigos em Research Paper Series do Centro de Pesquisas Financeiras Quantitativas, Universidade de Tecnologia, Sydney PO Box 123, Broadway, NSW 2007, Austrália. Informações de contato no EDIRC. Dados da série mantidos por Duncan Ford (). Este site faz parte do RePEc e todos os dados aqui apresentados fazem parte do conjunto de dados RePEc. Seu trabalho está faltando no RePEc Aqui está como contribuir. Perguntas ou problemas Verifique as perguntas frequentes do EconPapers ou envie um e-mail para. Optimal Estratégia de VWAP Trading e Transcrição do Volume Relativo 1 CENTRO DE PESQUISA QUANTITATIVA DE FINANÇAS CENTRO DE PESQUISA QUANTITATIVA DE FINANCIAMENTOS Documento de Pesquisa 21 de setembro 27 Opimal VWAP Trading Volume Sraegy e Relativo James McCulloch e Vladimir Kazakov ISSN 2 Opimal VWAP Volume Médio Pesado (VWAP) para uma meia é o valor raded oal dividido pelo volume oal raded. Eu sou um qualiy simples de medidores de execução popular wih insiuional raders o medida ele impac de preço de rading meia. Este artigo usa a otimização clássica da média-variância para desenvolver a VWAP sraegies ha aemp o rade uma cerveja han ele marke VWAP. Essas operações previram a queda dos preços por meio do carregamento frontal ou do carregamento de volumes radicais, longe do risco mínimo de VWAP. C) Copyrigh James McCulloch, Vladimir Kazakov, 27. Conac 1 3 1 Inrodução e Moivaion Volume Pesado Preço Médio (VWAP) rading é usado por grandes (insiuional) raders o rade grandes encomendas em marcas financeiras. Implici no uso de VWAP rading é reconhecer ha grandes encomendas raded em marcas financeiras podem rade um preço inferior em comparação com ordens menores. Isso é conhecido como ele impac liquido ou marke cos impac de rading grandes encomendas. A VWAP ordena que o seu preço seja superior ao preço médio de todas as vendas ao longo de um período específico de tempo (geralmente um dia rading). Isso permite que qualquer liquidiy impac coss associaed wih rading ele grande ordem o ser quanified. VWAP rading também reconhece ha ele chave o minimizar este coss é o breakup grandes encomendas até ino um número de sub-ordens executadas durante o período VWAP de tal forma a minimizar a demanda de liquidez insanou. O preço de VWAP como um qualiy dos medidores de execução foi primeiro desenvolvido por Berkowiz, Logue e Noser 4. Eles discutem (página 99) ha um sistema de medição de impac de mercado requer um preço de referência ha é um esimae imparcial de preços ha poderia ser alcançado em qualquer relevan Rado por qualquer raio e galinha selecionados aleatoriamente definem o VWAP como um parâmetro de referência apropriado ha saisfies seus critices. Um importante papel na modelagem da VWAP foi desenvolvido por Hizuru Konishi 15, que desenvolveu uma solução para o risco mínimo VWAP rading sraegy para um processo de preço modelado como Brownian moion wihou drif (dp sigma dw). Em seu trabalho, a solução é generalizada a um processo de preços, ha é um semimaringal, P A M P, onde A é drif de preço, M é uma maringé e P é seu preço iniial. I é provado ha drif preço A não conribue o VWAP risco. O processo de volume de relva X também é produzido, definido como o volume cumulativo V de inra-dia dividido pelo volume final de oval XVV T. I é mostrado ha VWAP é definido nativamente com volume relaive X raher han cumulaive volume V. O problema de risco VWAP mínimo é Generalizado no problema de rastreamento VWAP opimal usando uma estrutura de média-variância. O VWAP opimal rading sraegy x aqui se torna uma funcion de um arer definido aversion risco coefficien lambda. Isto é relevante porque as rádios VWAP são muitas vezes grandes rádios e o tamanho de ele pode ser uma informação sensível ao preço, pois ele pode explorar o benefício de seu clien. A sraegy opimal é obtida para VWAP rading que 2 4 inclui expectativa drif preço EA sobre ele VWAP rading período. Isto pode ser expresso na seguinte opimização de variância média (sujeito a consagrações em sraegy x) onde V (x) é a diferença entre VWAP radicado e VWAP de marke como uma função da raio x rading. X max E V (x) lambda Var V (x) x I é mostrado ha para todos os raios VWAP possíveis x aqui é sempre residual VWAP risco. Este risco residual é mostrado como sendo proporcional à variância de preço da calcinha e variância que ele relança o processo de volume VarX. Quando ele relaive volume variação do processo é empiricamente examinado em secion 3 i é encontrado o ser proporcional o o inverso da meia final rade coun K levantou o ele power.44. Isto é de importância, porque eu formalizo que ele tem um risco de VWAP menor para meias de urnaver alta. Min x VarV (x) sigma 2 T VarX d sigma2 K.44 Finalmente, examina-se uma rastreabilidade VWAP prática usando escaninhos de rading. O risco de VWAP baseado em binário addicional de usar volumes de volume de disco em VWAP é mostrado como sendo O (n 2) para uma aproximação bin binária do raio de velocidade VWAP contínua opimal. 2 Modelagem VWAP O modelo VWAP sojásmico baseia-se na filtragem do espaço de probabilidade com a observação da fil - tração progressiva F (Omega, F, F F, P). O modelo também define uma filiação G iniialmente ampliada pelo conhecimento do volume final raded da meia VWAP G F sigma (v T). O resultado é que o espaço de probabilidade (Omega, F, GG, P) é usado para definir o VWAP usando o processo de volume de relançamento X. 3 5 2.1 Um Modelo Soçásico de Preço P O processo de preço P será assumido como sendo sricly positivo, coninuous Especial) semimaringale wih Doob-Meyer decomposição: PPAMP gt Onde A é drif preço, M é uma maringá e P é ele iniial preço. 2.2 Um modelo Sochasic de volume Relaive X Volume Cumulaive chega em marke como discree rades, seu suggess ha ele cumulaive volume processo V deve ser modelado como um processo marcado poin. Um modelo muito geral de processo de poin é o processo de Cox 1 poin (também chamado de processo de Poisson pointamente duplamente so cásmico, um processo de poins simples (sem ocorrência de coincidência) com um ensaio aleatório geral .. O processo de Cox tem sido usado pelo modelo rade por Rade marke comportamento por um número de pesquisadores do mercado financeiro, incluindo Engle e Russell 1, Engle e Lunde 1, Gourieacuteroux, Jasiak e Le Fol 11 e Rydberg e Shephard 18. Se rade coun N é modelado como um processo de Cox, hen inra-dia rade Pode ser escalonado por um simples expediente de dividir o plano de resultados (N a K) pelo plano final (NTK), o que define o processo de processo relacional r, KNNT a. Não mais o processo de Cox como o seu foi transformado em um processo binomial duplamente pálido por conhecimento de que ele aumentou a observação da filração F. Sigma (n. T) (McCulloch 16).O objetivo de inércia ao executar uma VWAP rade é Não relaive rade coun R, K bu relaed estreitamente relaive vol Ume X. Isso pode ser modelado por um processo marcado poin onde cada ocorrência ou poin é associaed com um valor aleatório (ele mark) representando rade volume. Assim cada rade é especificada por um par de valores em um espaço de produção, ele é de ocorrência e um valor de marca (ineger) especificando o volume de rade R Z. 1 Nomeado um processo de Cox em reconhecimento do papel de David Cox 1955 9 que ele inroduziu o processo duplamente sochasico de Poisson poin. O volume relvado X é o raio de uma soma aleatória especificada pelo processo binomial duplamente so cásmico, à medida que ele processa a soma não aleatória de todos os volumes. O processo volumétrico volumétrico X é o processo de volume cumulativo transformado pelo conhecimento do volume final e é adaptado a GF sigma (v T). Noe X é um semimaringale com o respectivo G porque sua filração é ampliada pela álgebra sigma gerada por uma variável aleatória, volume final V T, com um número contável de valores possíveis (corolário 2, página 373, Proer 17). 2.3 Um Modelo Soçásico Inercial da VWAP Um dos motivos por ele popularmente da VWAP como uma medida de execuão de ordens é, na verdade, simples de sua definiçâo - o valor oal de todas as 2 rades dividido pelo volume total de todas as rades. Se P i e V i são o preço e o volume respecively das Nrades no período VWAP, quando VWAP for prontamente computado como: Vwap oal raded value oal raded volume N i1 P i V iN i1 V i Alernaively o definiion de VWAP Pode ser emitido em uma iminência conveniente. Le V seja o volume cumulativo raded a ime e P be he 2 Não são aceites todas as rádios como admissíveis num cálculo VWAP. As superfícies admissíveis são desmineralizadas por convenções de marke e são geralmente em marke rades. Fora-marke rades e cruzamentos são geralmente excluídos do VWAP calculaion porque estes rades são ofen preços longe de ele curren marke e represen volume em que um rader aleatoriamente selecionado 4 canno paricipae. 5 7 ime preço variável em um marke ha rades sobre ime inerval, T. Então VWAP é definido por ele Riemann-Sieljes inegral. Vwap oal valor raded oal raded volume 1 VTTP dv (1) Examinando ele inegral acima, i inuiive ha relaes o relaive volume processo XVV T. Usando heory de iniial enlargemen de filraion (ver Jeulin 14, Jacod 12, Yor 19 E Amendinger 2) VWAP pode ser expresso em erms de X. vwap TP dx (2) Proof. A asserção ha vwap variável aleatória é ele mesmo nas equações 1 e 2 sob filagens F e G respecively é provado sob a hipótese ha processo de preço P é independente da variável aleatória de volume final, sigma (p) sigma (v T), , T. Isto implica ha P é também um semimaringale G com a mesma decomposição de Doob-Meyer como F (heorem 2, página 364, Proer 17). A independência com V T implica que o processo de preço P é inalterado pela ampliação da fil - trão G. O volume cumulativo V chega a ele como discursos e é modelado como um processo marcado (ver secion 2.2). Noing ha V como um processo de salto puro tem uma variação finie sob a fil - trão F e ele ampliou a fil - tração G, i é facilmente mostrada se Riemann-Sieljes inegrais do preço inegrand P (inalterado pela amplitude da filração) e o volume inegraor V são equivalentes com ele Filaion F e ele ampliou a filaç~ao G. Le tau i, 1. N~ao N imites de salto para o processo de volume V sobre ele inerval, e V i seja os magnos de salto correspondentes. Em seguida, ele Riemann-Sieljes inegrals com respeito às filões F e G são equivalentes a mesma soma de Riemann-Sieljes porque ele volume imes e magniudes V i são ele mesmo em filamentos de boh e ele processo de preço é o mesmo em filhas de boh Assumpion). P s dv s FN i1 P taui V i P s dv s G 6 8 Noing ha he erm (1V T) é adaptado a G. 1 VTP s dv s FP s dv s VTGP s dx s G Este é um insight chave, VWAP é nauralmente definido usando relaive volume X raher han acual volume V. Um implicaion de usar volume de relaive é haha ​​comum relaive inraday feaures em rading diário de meias wih differen absolue urnovers podem ser explorados para VWAP rading. Além disso, ele diferença entre VWAP raded e VWAP marke como uma função de rration sraegy V (x) é convenienly definido usando volume relaive. Usando a desigualdade por pars 3, seu inegral pode ser transformado em uma covariação sógráfica e quadraica sochasica. Onde x X, P denota o processo de covariância entre x X e P. Como o processo de preço P é coninuous, ele relaive o volume (x) x (x) X é assumido como sendo um processo de ponta marcada (salto puro) e x é deerminísico, ele quadrático de covariância erm é zero. O inegrando de ele é ineficaz sofasic (X) é uma versão mais simples (previsível) do processo de volume relaive X onde para X é definido como se ele for limi de X, X lim s X s. 7 9 3 PROPRIEDADES EMPÍRICAS DO VOLUME RELATIVO X O volume relíquico como auto-normalizado rade couns foi analisado em McCulloch 16, onde podem ser encontrados deails de empacotamento daa colecion e análise. Em resumo, a New York Sock Exchange (NYSE) rade daa do TAQ daabase foi usada para colecionar o volume de volume relacional de todas as meias ha raded de 1 de junho 21 a 31 de agosto 21 (um oal de 62 dias rading 4) para um oal de 23.158 Relaive rade volume amostra pahs para todas as meias. O volume de relaç~ao de volume foi coletado em um histograma de D em minutos (39 minutos 1 ponto final) no eixo x e volume de relaç~ao (um número primo 251 para evitar limites de escaninho, mais pontos finais) - eixo. 3.1 Expeced Relaive Volume EX é S Shaped Todos os profissionais equiy raders sabem ha markes são, em média, ocupado no marke aberto e marke fechar e menos ocupado durante ele meio do dia rading. Trata-se de uma forma clássica da U em rading inensiy encontrada em todas as principais marcas de equiy 5 e é, por definião, derivativa da expectativa de relêve volume dex d. Figura 1 plos ele esperava relaive volume EX para quatro grupos de meias wih differen gamas de rade couns on ele NYSE. A expectativa de volume de relançamento EX pode ser aproximada com o seguinte polinômio. EX 5 3T 22 T., T. (4) 3T High Turnover Socks têm Varices Inferiores A segunda característica da daa empírica, facilmente observada na Figura 2, é que ele tem uma voltagens mais altas em torno do volume médio de liberação (Mostrado wih linha vermelha) han ele alta urnover meia (TXN). 4 3 21 de julho (meio dia rading) e 8 de junho 21 (NYSE compuer malfuncion atrasado marke abertura) foram excluídos da análise. 5 Para mais discussões e explanações sobre as causas do seu casamento, ver Brock e Kleidon 5, Admai e Pfleiderer 1 e Coppejans, Domowiz e Madhavan 8. 8 10 NYSE Volume Relativo Médio com Tendência Linear Removido EX () - T. 8 Variação do Tempo Linear.6 Banda do Comércio 51-1 Trades 11-2 Trades Trades Trades.2 Analítico Aprox. 9: 3 1: 1: 3 11: 11: 3 12: 12: 3 13: 13: 3 14: 14: 3 15: 15: 3 16: Marke Time Figura 1: A média de ele relaive volume EX para meias wihin Número médio diário de rades. Aqui, a linha de consanguinidade foi subtraída, E X T (assim todos os meios são mononicamente aumentando função de ime). A aproximação polinomial (eq. 4) é mostrada como linha preta. Este inuiion é correto e ele é o segundo insight importante em VWAP rading - ele volailiy de ele relaive volume processo X de meias de urnover baixas é maior han alto urnover meias. A Figura 3 mostra a variância empírica da variável indexada do processo de volume relvado VarX para diferentes faixas de número de rades diárias. I tem uma forma de U invertida onde a variância é zero a e T, similar a variância indexada de uma ponte browniana. Meias com um menor número de rades diários têm maior variação. As variâncias do processo de volume relêve para meias com um diferente plano final K podem ser empiricamente escalonadas por uma única curva, multiplicando a bainha por uma área final levantada para o poder.44 (K.44). Na Figura 4, ele escalou variações empíricas. 9 11 1.8 Mean SUS TXT TXN Exemplo Sock Inraday Relaive Volume Trajecories Volume de Relaive Executado. 11: 12: 13: 14: 15: 16: Figura 2: Este gráfico mostra as rajeções de volumes relváveis ​​para 3 meias representando meias de urnaver baixa, média e alta. A linha vermelha é ele esperava relaive volume EX para todas as meias rading mais han 5 rades um dia em ele NYSE sobre ele período de daa. SUS é Sorage EUA, TXT é Texron Incorporaed e TXN é Texas Insrumens. No dia 2 de Julho, estas meias registaram 11, 946 e 2183 rades correspondentemente. 1 12 NYSE Univariada Relaive Volume Variação Var. () 4. 3.5 3. Trade Coun Band 51-1 rades 11-2 rades 21-4 rades rades 2.5 Variância 2. 1.5 1.5. 9: 3 1: 1: 3 11: 11: 3 12: 12: 3 13: 13: 3 14: 14: 3 15: 15: 3 16: Marke Time Figura 3: A variação ime-indexada em forma de U inversa para relaive Volume Var X. As meias do país mais baixo têm uma variância mais alta para o Var X. NYSE Relaive Volume Variância VarX () Escalado para Differen Final Trade Couns por K.44 Trade Coun Band 51-1 rades 11-2 rades 21-4 rades rades Escalado Variância 9: 3 1: 1: 3 11: 11: 3 12: 12: 3 13: 13: 3 14: 14: 3 15: 15: 3 16: Marke Time Figura 4: As variações escalonadas do volume relaive Var X K. 44 para meias com diferentes faixas de rade final couns K. 11 13 4 VWAP Negociação Sraegies 4.1 Feasible Negociação Sraegies Qualquer rerma deerminisic rading sraegy x é viável apenas se i se conforma o fir consrain abaixo. A segunda e terceira consrains não são sricly necessário reforçar um uni-direcional sraegy onde comprar VWAP raders só comprar meias e vendedores só vendem meias. 1. Trader sars rading ele VWAP sraegy a quando x e tem raded ele sraegy inteira a T quando x T O volume relaive para ele mus sraegy sempre ser entre zero (nohing foi raded) e um, todo o volume da ordem s foi raded, x 1,, T. 3. A sraegy mus ser mononicamente não-decrescente, xx delta VWAP Trade Tamanho I é inuiive e rue ha ele maior percentagem de rading ha ele VWAP rader conrols, ele é mais fácil i é o rade um preço marke VWAP. No limi, ele conrols 1 de volume raded e exatamente deermines ele marke VWAP irrespecive de rration sraegy. I parece claro ha VWAP risco é proporcional o ele raded volume ha ele VWAP rader não conrol e seu inuiion é quanified abaixo. O processo de volume de relaive de outros radares de mercado X será assumido como independente da raio de acção adoptada pelo VWAP rader. Marke relaive processo de volume X pode ser wrien como uma soma pesada de ele relaive volume de oher marke paricipans X e ele VWAP rader x. Se V é o processo de volume cumulativo de ha não inclui o volume de VWAP, quando ele reduz o volume de outros participantes do mercado X é definido: XVVT 12 14 De modo semelhante, ele reduz a velocidade de volume do VWAP rader é simplesmente o volume final cumulativo v T dividido Por volume cumulativo a, v. Xvv T A proporção 6 beta da marke oal raded por ele VWAP rader pode ser calculada. O volume de alívio do oal esperado (conhecido em G) pode ser decomposto no processo de volume relacional de outros participantes do mercado X e da raça deerminisica do VWAP rader. X (1 beta) X betax Usando as definições acima, V (x) pode ser rewrien como: V (x) T (X x) dp Ltlt 1 e todos os O (beta) erms são ignorados. 4.3 O risco de VWAP Sraegies O risco de VWAP raded com rading sraegy x é prontamente expresso usando equaion 3. Var V (x) Var (X x) dp 6 Noe ha beta é conhecido sob a filraion alargada GF sigma (v T) e Uma variável aleatória sob F. 13 15 Usando a generalização semimaringal de Io s isomery sua variância pode ser wrien como: Var (X x) dp E (X x) 2 dp, P Como o preço semimaringale P é assumido coninuous, drif erm A é coninuous e é provado abaixo ha drif erm não conribue o VWAP risco e ha ele VWAP risco pode ser wrien jus usando ele maringale componen de ele Doob-Meyer decomposiion. P M A P Var (X x) dp E (X x) 2 dm, M (5) Proof. Os inegrandos do eqn 5 são idênticos, assim por ele properies de Riemann-Sieljes inegral, ele equaliy do eqn 5 é esablished se ele wo inegraing processos, ele variações quadraic, são iguais (ae) M, MP, P. Usando ele polarização Idêntica para covariação quadrática. A, M 1 2 (A M, A M M, M A, A) O processo de drif A é coninuous por assumpion e, portanto, a covariação quadrática erm é zero (Jacod e Shyrayaev 13, página 52) A, M. Além disso, o processo de drif A é previsível, coninuous e de variação limitada de forma que ele drif a variação quadrática erm é zero (Proer 17, heorem 22, página 66) A, A e a polarização ideniy simplifica o: P, PAM, AMM, M 14 16 Uma vez que ele maringale erm do processo de preço é coninuous ele heminghem represenação maringale (Proer 17, heorem 43, página 188) pode wrien da seguinte forma para um sigma contínuo processo previsível. M Sigma s dw s Usando sua representação, a variância de VWAP da equação 5 pode ser mais simplificada: Var V (x) E (X x) 2 dm, ME (X x) 2 sigma 2 d (6) 4.4 Risco Mínimo VWAP Sraegy Parece razoável que haja uma aproximação superficial óptima, x é uma sraegy ha está perto de X qualquer conhecimento de ele acual oucome de X. Assim, ele deve ser, por inuiion, perto da expectativa de volume relaive x EX. Isso é mostrado abaixo. A seguir a Konishi 15, a equação pode ser decomposta como: x min x 1 Var V (x) min x 1 (X) 2 E 2x X x 2 sigma 2 d min x 1 x 2 E sigma 2 2 x EX sigma 2 d min x 1 min x 1 (E sigma 2 x 2 EX sigma 2 2 E sigma 2 (x EX) sigma 2 2 d E sigma EX sigma 2 2 E sigma 2 2) EX sigma 2 2 E sigma 2 d 17 Isto é minimizado quando : X EX sigma 2 E sigma 2 E Cov X, sigma 2 XE sigma 2 Assim ele consrained solução é: x se se E Cov X, sigma 2 X 1, E sigma 2 1 E Cov X, sigma 2 X, E sigma 2 E Cov X, sigma 2 X, por outro lado. Em que Cov X, sigma 2 é a covariância entre o volume de relance X e a variância de preço de peúga, o sigma 2. Em relações financeiras, a relação positiva entre o volume de rolamento e volatilidade é uma factura sílizada, ver Con 7, Clark 6 e Aneacute e Geman 3. Portanto, uma vez que a expectativa de volume exagerado EX é mononicamente crescente e a covariância entre o volume de relance e a variância é não-negativa Cov X, sigma 2, a solução de risco mínimo (eqn 7) é viável. Noe ha under ele assumpion ha ele relaive volume e variância de preço de meia são independen ou variância de preço de meia é uma função deerminisic heen ele covariance erm é zero e ele risco mínimo sraegy reduz o ele expectativa de ele relaive volume x E X. 4.5 Não removível Risco residual de VWAP rading Risco residual é ele limite inferior de VWAP risco ha canno ser eliminaed escolhendo um rading sraegy x. A substituição do eqn 7 ino eqn 6 dá-lhe o seguinte limite sobre a variância VWAP residual: min x VarV (x) TEX 2 sigma 2 EX sigma 2 2 E sigma 2 d 16 18 Se o preço volailiy é assumido consan circsigma 2 sigma 2, A expressão acima simplifica o seguinte: min x VarV (x) circsigma 2 T Varx d Usando a propriedade de escala de VarX encontrada acima em NYSE daa (ver secion 3) hen residual VWAP risco é proporcional o ele esimaed variância sock dividido por ele final Rade coun k o ele poder.44. Min x VarV (x) Contras circsigma 2 K.44 Assim, uma meia com 1 imes ele rade coun de outra meia com variação de preço similar tem aproximadamente um risco de VWAP residual. 4.6 Optical VWAP Sraegy com Expeced Drif Na prática, um rader pode desejar o bea VWAP. Isso é razoável, porque ele VWAP rader pode ter sensiive preço informaion abou uma meia. Um corretor pode explorar sua informação privativa para o benefício de seu clien, adotando um VWAP rading sraegy x ha é mais arriscado han variância mínima sraegy. Este drima opimal sraegy x pode ser encontrado usando a abordagem de variância média. Para a definição ele VWAP ordem é assumido o ser uma ordem de compra em seu papel. Assim, beaing marke é definido como uma expectativa positiva EV (x). A covariação quadrática entre a corrente de preço contí - nua A e o processo de volume relêve é: (x) x (x) Zero X, A, portanto, com perda de geral 17 19 a covariância entre a variação de preço e o volume relêve pode ser assumida como zero, CovA, X. Denoing micro EA, ele expectativa de VWAP reurn pode ser simplificado o seguinte: EV (x) T (EX x) micro d (8) Em geral, ele não é mínimo VWAP risco sraegy de secion 4.4 porque o seu Sraegy não inclui ele esperava reurn de ele VWAP rade. Uma área extensa inclui expectativa de retorno pode ser especificada como uma opimização clássica de média-variância usando uma aversão ao risco especificada por consan lambda. (X x) x (1) x (1) x (1) x (1) x (1) X x) x 2 (2) x 2 (2) x 2 (2) x 2 (2) ) A solução conscrita com a VWAP sraegy wih drif: 18 20 se x se E Cov X, sigma 2 XE sigma 2 E Cov X, sigma 2 XE sigma 2 E Cov X, sigma 2 XE sigma 2 micro 2lambdaE sigma 2 micro 2lambdaE sigma 2 micro 2lambdaE sigma 2, 1, 1, de outro modo. (1) Um Exemplo de Drif Opimal VWAP Trading Um exemplo simples de opimally fron-loading e back-loading ele VWAP rading sraegy ou exploi esperado preço drif é illusraed por exemplo opimizing sraegies wih boh positiva e negavive esperado drif preço. Nestes exemplos, o período de VWAP é um dia T 1. O drif esperado EA é assumido como uma função linear simples de tal tal que a meia tem os outros 2 ou ganhou 2 pelo final do dia rading micro plusmn.2. A sock volailiy (sd dev.) É um consan 2 (sigma 2 circsigma 2 .2 2). Coeficiente de aversão ao risco lambda Com estas suposições, as políticas operacionais de controle da equação 1 são: x se E X plusmn.7 1, 1 se E X plusmn.7, E X plusmn.7, oherwise. I é claro a partir do exemplo acima, ele opracional sraegies para drif deslocar ele opimal sraegy para cima (front-loading) para um esperado positivamente drif EX gt e para baixo (back-loading) para um negaive esperava drif EX lt. Essas estruturas opcionais têm desconcentrações a e 1 em que o volume é insanamente adquirido. Isto é irrealista porque eu assumo que ele pode suprir liquidez e elimina o poder central da VWAP rading, distribuindo a demanda líquida sobre o período de VWAP de tal forma para minimizar a demanda de liquidez insanita. A solução é adicionar um consenso addicional ao problema de opimização, vendo um limite superior da demanda líquida insanitária nu max. Este consuelo liquido pode ser especificado da seguinte forma: dx dv max A estrutura opimal aqui é construída usando-se D de sraegies viáveis ​​x como um espaço recangular em (x) com a parte superior da ponta a (1) e a direita superior a (1, T), ver a figura 5. Os limites de lef x L e direito x R para a região D são definidos como ineg ramentos do raio máximo v max. X L vs max ds x R 1 T vs max ds Todos os pontos do direito de x R e o lef de x L estão fora da região viável D. O sraegy opimal é o rade seguindo sraegy inconsciente (9) dentro D unil one Dos limites de D é encontrado e hen rade um rae máximo permitido. Se E Cov X, sigma 2 XE sigma 2 micro 2lambdaE sigma 2 x L, x L x se E Cov X, sigma 2 XE sigma 2 micro 2lambdaE sigma 2 x R, x R (11) E Cov X, sigma 2 XE sigma 2 micro 2lambdaE sigma 2, de outro modo. 2 22 Proof ha (11) é a razão óptica para VWAP rading problema wih consrained liquidiy é dada no apêndice. O exemplo acima é re-considerado agora para ime-dependen consrained liquidiy, onde ele máximo rae de rading é assumido o ser proporcional o esperado de ele rading rae do marke (ime-derivaive de EX) 1,8 x LD EX.6 x .4.2 Estrutura de VWAP não-construída x RT 1 Figura 5: A sutura de VWAP de back-load opimal para o rading consolidado de forma líquida, por exemplo. V max 2 d d E X O resultado é o VWAP óptimo rading sraegy back-carrega volume ao longo x, mostrado na Figura 5. 21 23 4.7 Bins - VWAP Sraegy Implementação A opimal sraegies x discutido anteriormente são coninuous. Tha é, i é assumido ha ele VWAP rader tem complementar conrol sobre rading rajecory a qualquer momen de ime durante rading. Isto é irrealista, mas é preciso ime o implementar sraegy e encontrar rading couner-paries o fornecer liquidiy. Em ordem o modelo VWAP wih uncerain liquidiy um assumpion mais fraco é adotado ha rading pode ser dividido ino número de períodos onde rader tem conrol sobre ele médio rading rae durante cada período. Isto é, ele tem o controle suficiente sobre rading o guaranee ha ele raded volume um começo eo fim de cada período é igual o x. Esses períodos são chamados ime lixeiras. O raixo x é gerado por um processo aleatório liquidiy e poderia deviae de x dentro de bin bu sempre coincidirá a é limites O Cos de um Subopimal VWAP Negociação Sraegy O VWAP bin rajeory x é subopimal e ele médio-variância cos de subopimal VWAP Rration sraegies C (x) é formulado abaixo. (X) () x (x) x (x) x (x) x (x) x (x) x (2) 2 X 2lambda Esigma 2 x) lambda (xx) 2 Esigma 2 d Noing ha ele quando ele acual rading rajecory coincide wih unconsrained solução opimal wih drif (eqn 9) quando ele é erm em ele inegral é eliminaed e ele cos de uma subração de subopimal É simplificado. C (x) lambda T (xx) 2 Esigma 2 d (12) 22 24 4.7.2 A Cobertura Limitada de um Bin Trading Sraegy Bins são projetados dividindo o período de VWAP rading, T ino b ime períodos com o limite de im ims para Bin i denoed como tau i 1 e tau i. Tau lt tau 1 lt lt tau i lt tau l1 lt lt tau b T Por consrucion x tau i 1 x tau i e x tau i x tau i. Uma vez que x e x são funcions não-decrescentes ha são menos han ou igual o 1 deviaion beween hem é limitado. Xxx tau ix tau i 1 tau i, tau i 1 (13) Usando (13) gamos de (12) seguindo a adição de cos de caixas C (tau 1. tau b) b (x tau ix tau i 1) I1 taui tau i 1 (micro 2lambda (Esigma 2 X Esigma 2 x)) db taui (x tau ix tau i 1) 2 i1 tau i 1 lambdaesigma 2 d (14) Compartimentos de volume igual As divisórias de volume iguais são usadas também pelos praticantes. Eles são definidos como x (tau i) x (tau i 1) 1 bi O bin cos ligado (14) para rading com rae desconhecido raça hen akes ele forma: C (tau 1. tau b) 23 1 b 2 lambda T Esigma 2 D (15) 25 Assim, o risco VWAP addicional de usar bugs de volume discree o r VWAP depende do número de caixas b como O (b 2) Opimal VWAP Bin Sraegy As caixas opimal são obained minimizando ele ligado (14) no vecor em Bin limite imes tau. A ordem de primeira ordem de opimaliy é. (Tau 1 tau b) tau k Diferenciando a equação 14 com o respectivo vecor em limites de escaninho imes tau dá: (2x tau ix tau i 1 x tau i1) (micro taui 2lambda (Esigma 2 tau i X taui Esigma 2 tau Ix tau i)) d taui dtau x tau i (micro 2lambda (Esigma 2 X Esigma 2 x)) d tau i 1 taui1 tau i (micro 2lambda X tau i 1 2 x tau i) x tau i1 (x tau i1 2x tau i) 2lambda d taui taui1 dtau x tau i (x tau ix tau 1) Esigma 2 d (x tau i1 x tau i) tau i 1 tau (16) Resolver sua equação para tau i pode ser visto como uma operaç~ao compuaional que reduz os cos addiionais baseados em escaninhos, variando tau i condiional sobre (como funcion de fixo) tau i 1 e tau i1. I é aplicado de forma recursiva, ou seja, ele próprio de seqüências de imensos (por exemplo, compartimentos de igual volume), unil convergência das caixas opimais. 24 26 O exemplo na figura 5 mostra os limites de escaninhos de 1 compartimento de volumes iguais para os segmentos de VWAP e 1 limite opimal obtidos pela aplicação de uma operação recursivamente melhorada. A redução no risco adicio - nal de caixa O uso de uma amostra óptima de caixas de volume igual é de 4,65 ... 8,6 caixas opimais solução conjunta 4,2 caixas de volume igual Figura 6: A sutura óptima ele exemplo com liquidez consolidada e está correspondendo 1 caixas de volume igual e 1 caixas opimais. 25 27 5 Conclusão e Sumário Este artigo baseia-se no artigo de Hizuru Konishi 15, desenvolvendo uma solução para um problema de risco mínimo VWAP. O processo de volume é assumido como um processo marcado e o processo de preço pode ser um semimaringal. I é mostrado ha VWAP é nauralmente definido usando ele relaive volume processo X que é inra-dia cumulaive volume V dividido por oal volume final X V V T. A nova expressão para o risco de VWAP rading é derivado. Estou provado que o seu risco não depende de seu preço. The minimum risk sraegy of VWAP rading is generalized ino a meanvariance opimal sraegy. This is useful when VWAP raders have price sensiive informaion ha can be exploied by a VWAP sraegy. The cos of exploiing price sensiive informaion is deviaion from he minimum risk VWAP rading sraegy by fron-loading or back-loading raded volume o exploi he expeced price movemen. I is shown ha even wih a minimum risk VWAP rading sraegy is implemened here is always a residual risk. This residual risk is shown o be proporional o he price variance circsigma 2 of he sock and he inverse of final rade coun K raised o he power.44. Higher rade coun socks have lower residual VWAP risk because he variance of he relaive volume process is lower for hese socks. A pracical VWAP rading sraegy using rading bins is consruced. The addiional VWAP risk from using discree volume bins o rade VWAP is esimaed. I is shown ha i depends on he number of bins b as O(b 2 ). 26 28 References 1 Ana Admai and Paul Pfleiderer, A Theory of Inraday Paerns: Volume and Price Variabiliy, Review of Financial Sudies 1 (1988), 3 4. 2 Juumlrgen Amendinger, Iniial enlargemen of filraions and addiional informaion in financial markes, Ph. D. hesis, Berlin Technical Universiy, Berlin, Germany, 3 Thierry Aneacute and Helyee Geman, Order flow, ransacion clock, and normaliy of asse reurns. 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March 21 version. 9 David Cox, Some Saisical Mehods Conneced wih Series of Evens (Wih Discussion), Journal of he Royal Saisical Sociey, B 17 (1955), 1 Rober Engle and Jeff Russell, The Auoregressive Condiional Duraion Model, Economerica 66 (1998), 11 Chrisian Gourieacuteroux, Joanna Jasiak, and Gaeumllle Le Fol, Inra-Day Marke Aciviy, Journal of Financial Markes 2 (1999), 12 Jean Jacod, Grossissemen Iniial, Hypohegravese e Theacuteoregraveme de Girsanov, Seacuteminaire de Calcul Sochasique 198283, Lecure Noes in Mahemaics 1118, Springer (1985), 13 Jean Jacod and Alber Shiryaev, Limi Theorems of Sochasic Processes, Springer, Berlin, 29 14 Thierry Jeulin, Semi-maringales e grossissemen d une filraion, Lecure Noes in Mahemaics 92, Springer (198). 15 Hizuru Konishi, Opimal slice of a VWAP rade, Journal of Financial Markes 5 (22), 16 James McCulloch, Relaive Volume as a Doubly Sochasic Binomial Poin Process, Quaniaive Finance 7 (27), 17 Phillip Proer, Sochasic Inegraion and Differenial Equaions, Springer, 25. 18 Tina Rydberg and Neil Shephard, BIN Models for Trade-by-Trade Daa. Modelling he Number of Trades in a Fixed Inerval of Time, Unpublished Paper. Available from he Nuffield College, Oxford Websie hp:nuff. ox. ac. uk. 19 Marc Yor, Grossissemen de filraions e absolue coninuieacute de noyaux, Lecure Noes in Mahemaics 1118, Springer (1985), 30 A Opimal VWAP Trading Sraegy wih Consrained Trading Rae Proof. Tha eqn 11 is he soluion he he opimal VWAP rading problem wih liquidiy consrained rading rae v v max. min x, v (micro x lambdasigma 2 (x 2 2x EX )) d (17) Subjec o dx d v, v v max, , T, x , x T 1. The case in Figure 7 is considered where he unconsrained rading sraegy of eqn 9 passes hrough he origin and inersecs wih he maximal rading line x R a R lt T. The proof for oher cases when he unconsrained sraegy xi inersecs wih oher he boundaries of D is idenical. x x x L D x R unconsrained rading sraegy R Figure 7: The feasible se D defined by consrains on he rae of rading and boundary condiions. The adjoin variable Psi, , T is calculaed by solving following he equaion: dpsi d micro 2lambdasigma 2 (x 2lambdasigma 2 EX ), Psi R . (18) 29 31 Using inegraion by pars: Psi T x T Psi x T Psi v dpsi d x d . Afer adding his ideniy s lef side o VWAP mean-variance cos and dropping erms ha depend on fixed x and x T he problem of eqn 17 is ransformed o he following: min x, v Where: (micro x lambdasigma 2 (x 2 2x EX )) d min R(Psi, x, v ) d x, v (19) R(Psi, x, v ) micro x lambdasigma 2 (x 2 2x EX ) Psi v dpsi d x Consider he lef arc in x, when v dx d lt v max, and (, R ). Here he rhs of equaion in eqn 18 is zero and herefore Psi . I is easy o check ha: R x (Psi, x x, v v ) , R v (Psi, x x, v v ) , (, R ). Thus R has a minimum on x D a x x v v lt v max everywhere along lef arc of x. and on v , v max a Consider he righ arc of x, when v v max and ( R, T ). Here x is higher han he unconsrained rading sraegy xi defined by eqn 9. Afer decomposing x xi (x xi ) eqn 18 becomes: dpsi d micro 2lambdasigma 2 (xi EX ) 2lambdasigma 2 (x xi ) 2lambdasigma 2 (x xi ) lt Since Psi R , Psi lt, ( R, T ). I is easy o check ha: 3 32 R x (Psi, x x, v v ) , R v (Psi, x x, v v ) Psi lt, ( R, T ) Thus R has minimum on x D a x x. By inspecion he funcion R is a linear funcion of v, so on v , v max i has minimum on v a v v v max everywhere along righ arc of x. Therefore x defined by eqn 11 and v dx d obey consrains in eqn 17 and minimize he inegral of he equivalen mean-variance cos crierion R on x and v a every momen of ime , T and so is he opimal soluion of eqnOptimal VWAP Trading Strategy and Relative Volume Volume Weighted Average Price (VWAP) for a stock is total traded value divided by total traded volume. It is a simple quality of execution measurement popular with institutional traders to measure the price impact of trading stock. This paper uses classic mean-variance optimization to develop VWAP strategies that attempt to trade at better than the market VWAP. These strategies exploit expected price drift by optimally front-loading or back-loading traded volume away from the minimum VWAP risk strategy. Se você tiver problemas ao fazer o download de um arquivo, verifique se você tem o aplicativo adequado para visualizá-lo primeiro. Em caso de problemas adicionais, leia a página de ajuda IDEAS. Observe que esses arquivos não estão no site IDEAS. Por favor, seja paciente, pois os arquivos podem ser grandes. Paper provided by Quantitative Finance Research Centre, University of Technology, Sydney in its series Research Paper Series with number 201.Optimal VWAP Tracking University of Texas at Austin - Red McCombs School of Business Jedrzej Pawel Bialkowski University of Canterbury - Department of Economics and Finance Stathis Tompaidis University of Texas at Austin - McCombs School of Business September 30, 2017 We consider the problem of finding a strategy that tracks the volume weighted average price (VWAP) of a stock, a key measure of execution quality for large orders used by institutional investors. We obtain the optimal, dynamic, VWAP tracking strategy in closed form in a model with general price and volume dynamics and show that it can be extended to incorporate proportional transaction costs. We build a model of intraday volume using the Trade and Quote dataset to empirically test the strategy, both without trading costs and when trading has temporary effects that include the bid-ask spread and depth of the order book, and permanent effects that reflect the potential information content of trades. We find that the implementation cost of the strategy we propose is lower than the cost charged by brokerage houses. Number of Pages in PDF File: 66 Keywords: Volume Weighted Average Price, Algorithmic Trading, Trading Volume, Trading Costs, Dynamic Programming JEL Classification: G12, G29, C61 Date posted: October 1, 2017 Suggested Citation